Solucionador de Estatística

[Análise]
Temos 3 observações do número de usuários (em milhões) nos anos 2022, 2023 e 2024. Vamos:

• Calcular a variância dos valores de usuários.

• Ajustar uma regressão linear simples do tipo $y = a + b,x$, onde $x$ é o ano e $y$ é o número de usuários.

• Projetar o número de usuários nos anos 2025, 2026 e 2027 usando a reta ajustada.

• Exibir um gráfico com pontos originais e reta de regressão estendida até 2027.

[Solução]

Passo 1 – Organização dos dados
Definimos
$x: {2022,;2023,;2024}$
$y: {141.7,;155.0,;200.0}$ (em milhões)

Passo 2 – Médias
Calculemos as médias
$\bar x = \frac{2022 + 2023 + 2024}{3} = 2023$
$\bar y = \frac{141.7 + 155.0 + 200.0}{3} = 165.5667$

Passo 3 – Variância de $y$ (populacional)
$\sigma_y^2 = \frac{1}{3}\sum_{i = 1}^3 (y_i - \bar y)^2$

| Cálculo dos desvios:
y_1 - \bar y = 141.7 - 165.5667 = -23.8667
y_2 - \bar y = 155.0 - 165.5667 = -10.5667
y_3 - \bar y = 200.0 - 165.5667 = +34.4333
| Quadrados e soma:
(-23.8667)^2 + (-10.5667)^2 + (34.4333)^2 = 569.84 + 111.66 + 1185.63 = 1867.13
| Então
$\sigma_y^2 = \frac{1867.13}{3} = 622.38\quad(\text{milhões}^2)$

Passo 4 – Coeficiente angular $b$ da regressão
$b = \frac{\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum (x_i - \bar x)^2}$

| Numerador:
(2022-2023)(141.7-165.5667) + (2023-2023)(155.0-165.5667) + (2024-2023)(200.0-165.5667)
= (-1)(-23.8667) + 0·(–10.5667) + (+1)(34.4333) = 23.8667 + 0 + 34.4333 = 58.3000

| Denominador:
(2022-2023)^2 + (2023-2023)^2 + (2024-2023)^2 = 1 + 0 + 1 = 2

| Logo
$b = \frac{58.3}{2} = 29.15\quad(\text{milhões por ano})$

Passo 5 – Coeficiente linear $a$
$a = \bar y - b,\bar x = 165.5667 - 29.15\cdot 2023 = -58805.88$

Portanto a reta ajustada é
$y = -58805.88 + 29.15,x$

Passo 6 – Projeção até 2027
Basta substituir $x = 2025,2026,2027$:

• Para 2025:
$y(2025) = -58805.88 + 29.15\cdot2025 \approx 219.87$

• Para 2026:
$y(2026) = -58805.88 + 29.15\cdot2026 \approx 249.02$

• Para 2027:
$y(2027) = -58805.88 + 29.15\cdot2027 \approx 278.17$

Passo 7 – Gráfico (exemplo em Python/Matplotlib)

import matplotlib.pyplot as plt  
  
# Dados originais  
anos_obs = [2022, 2023, 2024]  
users_obs = [141.7, 155.0, 200.0]  
  
# Anos para projeção  
anos_tot = [2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027]  
# Reta de regressão  
a, b = -58805.88, 29.15  
users_fit = [a + b*x for x in anos_tot]  
  
plt.figure(figsize=(8,5))  
plt.plot(anos_obs, users_obs, 'o', label='Dados Originais')  
plt.plot(anos_tot, users_fit, '-', label='Reta de Regressão')  
plt.xlabel('Ano')  
plt.ylabel('Usuários (milhões)')  
plt.title('Projeção de Usuários até 2027')  
plt.legend()  
plt.grid(True)  
plt.show()  
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[Resposta]
• Variância populacional dos usuários:
$\sigma_y^2 = 622.38\ (\text{milhões}^2)$

• Equação da regressão linear:
$y = -58805.88 + 29.15,x$

• Projeções:
– 2025: $y(2025)\approx 219.87\text{ milhões}$
– 2026: $y(2026)\approx 249.02\text{ milhões}$
– 2027: $y(2027)\approx 278.17\text{ milhões}$

[Analysis]

Neste exercício de estatística descritiva, temos uma distribuição de frequências simples. Iremos calcular as três principais medidas de tendência central:

• Média aritmética

• Mediana

• Moda

Abordagem:

• Para a média, calculamos o somatório dos produtos das avaliações pelas suas frequências e dividimos pelo total de observações.

• Para a mediana, identificamos a posição central na distribuição acumulada.

• Para a moda, verificamos a avaliação com maior frequência.

[Solution]

Passo 1 – Organizar os dados
Avaliações (x_i): 0, 1, 2, 3, 4, 5
Frequências (n_i): 3, 10, 18, 17, 9, 6

Passo 2 – Total de observações
$\displaystyle N = \sum_i n_i = 3 + 10 + 18 + 17 + 9 + 6 = 63$

Passo 3 – Cálculo da média
Somatório dos produtos
$\displaystyle \sum_i x_i,n_i = 0\cdot3 + 1\cdot10 + 2\cdot18 + 3\cdot17 + 4\cdot9 + 5\cdot6 = 163$
Média aritmética
$\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum_i x_i,n_i}{N} = \frac{163}{63} \approx 2{,}59$

Passo 4 – Cálculo da mediana

• Posição da mediana: $\frac{N + 1}{2} = \frac{63 + 1}{2} = 32$-ésima observação.

• Frequência acumulada:
  • Até (x=2): (3 + 10 + 18 = 31)
  • Até (x=3): (31 + 17 = 48)

• A 32-ésima observação cai em (x=3).
  Logo,
  $\mathrm{Mediana} = 3$

Passo 5 – Cálculo da moda

• Frequências (n_i): o maior valor é 18, correspondente a (x=2).
  Portanto,
  $\mathrm{Moda} = 2$

[Answer]

Média ≈ $2{,}59$
Mediana = $3$
Moda = $2$

## Análise    
Este é um problema de estatística descritiva que pede o cálculo da covariância entre duas variáveis numéricas (vendas e gastos com publicidade). Vamos usar a fórmula da covariância populacional:    
<<|    
\mathrm{Cov}(X,Y) \;=\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})    
|>>    
  
## Solução    
  
**Passo 1. Calcular as médias**    
- Média das vendas:    
  <<|    
  \bar{V} = \frac{50 + 60 + 70 + 65 + 75 + 55}{6} = \frac{375}{6} = 62{,}5    
  |>    
- Média da publicidade:    
  <<|    
  \bar{P} = \frac{30 + 26 + 35 + 17 + 24 + 22}{6} = \frac{154}{6} \approx 25{,}6667    
  |>    
  
**Passo 2. Calcular os desvios e seus produtos**    
  
| Ano | Vendas  | Publicidade | V−\bar V | P−\bar P | (V−\bar V)(P−\bar P) |  
|-----|---------|-------------|----------|----------|----------------------|  
| 1   | 50      | 30          | −12,5    | 4,3333   | −54,1667             |  
| 2   | 60      | 26          | −2,5     | 0,3333   | −0,8333              |  
| 3   | 70      | 35          | 7,5      | 9,3333   | 70,0000              |  
| 4   | 65      | 17          | 2,5      | −8,6667  | −21,6667             |  
| 5   | 75      | 24          | 12,5     | −1,6667  | −20,8333             |  
| 6   | 55      | 22          | −7,5     | −3,6667  | 27,5000              |  
  
**Passo 3. Somar os produtos dos desvios**    
<<|    
\sum_{i=1}^{6}(V_i-\bar V)(P_i-\bar P)  
= -54{,}1667 - 0{,}8333 + 70 - 21{,}6667 - 20{,}8333 + 27{,}5 = 0    
|>>    
  
**Passo 4. Dividir por n = 6**    
<<|    
\mathrm{Cov}(V,P)  
= \frac{1}{6}\,\sum_{i=1}^{6}(V_i-\bar V)(P_i-\bar P)  
= \frac{0}{6}  
= 0    
|>>    
  
## Resposta Final    
A covariância entre vendas e gastos com publicidade é    
<<|    
\mathrm{Cov}(V,P) = 0    
|>>    
  
Isso indica que, segundo este cálculo populacional, não há relação linear de tendência entre as variações de vendas e as variações em publicidade.
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[Análise]    
Identificamos duas variáveis categóricas:    
- Serviço de IA: {ChatGPT, Bard, Bing, Gemini, Claude}    
- Nota atribuída: {1, 2, 3, 4}    
  
O objetivo é construir uma tabela de contingência que conte, para cada combinação (Serviço, Nota), o número de ocorrências.  
  
[Solução]    
Passo 1 – Colocar os dados em formato “long” (cada linha → uma observação de Serviço + Nota).    
Passo 2 – Aplicar uma função de crosstab (pandas) ou tabela dinâmica, agrupando por Serviço e Nota.    
Em Python/pandas seria, por exemplo:    
```python  
import pandas as pd  
  
# df: DataFrame original com colunas ['Tempo', 'ChatGPT', 'Bard', 'Bing', 'Gemini', 'Claude']  
df_long = df.melt(id_vars=['Tempo'], var_name='Serviço', value_name='Nota')  
conting = pd.crosstab(df_long['Nota'], df_long['Serviço'])  
print(conting)  
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Passo 3 – Interpretar a matriz de frequências resultante.

[Answer]
Segue a tabela de contingência (Notas × Serviços).

<<|
\begin{tabular}{c|ccccc}
\text{Nota} & \text{ChatGPT} & \text{Bard} & \text{Bing} & \text{Gemini} & \text{Claude} \ \hline
1 & n_{1,\text{ChatGPT}} & n_{1,\text{Bard}} & n_{1,\text{Bing}} & n_{1,\text{Gemini}} & n_{1,\text{Claude}} \
2 & n_{2,\text{ChatGPT}} & n_{2,\text{Bard}} & n_{2,\text{Bing}} & n_{2,\text{Gemini}} & n_{2,\text{Claude}} \
3 & n_{3,\text{ChatGPT}} & n_{3,\text{Bard}} & n_{3,\text{Bing}} & n_{3,\text{Gemini}} & n_{3,\text{Claude}} \
4 & n_{4,\text{ChatGPT}} & n_{4,\text{Bard}} & n_{4,\text{Bing}} & n_{4,\text{Gemini}} & n_{4,\text{Claude}} \
\end{tabular}
|>>

Onde cada (n_{i,j}) representa a frequência de observações com Nota = (i) para o Serviço (j).```