ตัวแก้โจทย์สถิติ

# การวิเคราะห์    
ข้อมูลเป็นการแจกแจงจากกลุ่ม (grouped data) มีจำนวนนักศึกษา \(N=40\) แบ่งเป็นช่วงคะแนนกว้างเท่ากัน \(h=5\) จุดประสงค์คือ    
- หา \(D_2\) (decile ที่ 2) ซึ่งก็คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ \(20\%\)    
- หา \(Q_3\) (quartile ที่ 3) ซึ่งก็คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ \(75\%\)    
- หา “สัมโอ” ซึ่งหมายความถึง \(Q_1\) (เปอร์เซ็นไทล์ที่ \(25\%\))    
- หา คะแนนขั้นต่ำของกลุ่มเกรด B ซึ่งอยู่ที่เปอร์เซ็นไทล์ \(70\%\)    
  
ใช้สูตรการคำนวณตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์แบบกลุ่ม    
<<|P_k = L + \frac{k\%\times N - cf}{f}\,h|>>    
โดย    
– \(L\) = จุดต่ำสุดของช่วงชั้นที่สนใจ    
– \(cf\) = ความถี่สะสมก่อนหน้าชั้นนั้น    
– \(f\) = ความถี่ของชั้นนั้น    
– \(h\) = ความกว้างของชั้น    
  
---  
  
# ขั้นตอนการคำนวณ  
  
## 1. เตรียมความถี่สะสม    
| ช่วงคะแนน | ความถี่ \(f\) | ความถี่สะสมก่อนหน้า \(cf\) |  
|:---------:|:------------:|:---------------------------:|  
| 1–5    | 2  | 0   |  
| 6–10   | 3  | 2   |  
| 11–15  | 5  | 5   |  
| 16–20  | 16 | 10  |  
| 21–25  | 11 | 26  |  
| 26–30  | 3  | 37  |  
  
---  
  
## 2. หา \(D_2\) (เปอร์เซ็นไทล์ 20%)    
- ตำแหน่ง = \(0.2\times40 = 8\)    
- ชั้นที่ 8 อยู่ในช่วง 11–15    
  - \(L=11,\;cf=5,\;f=5,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<|D_2 = 11 + \frac{8 - 5}{5}\times5 = 11 + 3 = 14|>>    
  
---  
  
## 3. หา \(Q_3\) (เปอร์เซ็นไทล์ 75%)    
- ตำแหน่ง = \(0.75\times40 = 30\)    
- ชั้นที่ 30 อยู่ในช่วง 21–25    
  - \(L=21,\;cf=26,\;f=11,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<|Q_3 = 21 + \frac{30 - 26}{11}\times5 = 21 + \frac{4}{11}\times5 \approx 21 + 1.818 = 22.818|>>    
  
---  
  
## 4. หา \(Q_1\) (สัมโอ = เปอร์เซ็นไทล์ 25%)    
- ตำแหน่ง = \(0.25\times40 = 10\)    
- ชั้นที่ 10 อยู่ในช่วง 11–15    
  - \(L=11,\;cf=5,\;f=5,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<|Q_1 = 11 + \frac{10 - 5}{5}\times5 = 11 + 5 = 16|>>    
  
---  
  
## 5. คะแนนขั้นต่ำของเกรด B (เปอร์เซ็นไทล์ 70%)    
- ตำแหน่ง = \(0.70\times40 = 28\)    
- ชั้นที่ 28 อยู่ในช่วง 21–25    
  - \(L=21,\;cf=26,\;f=11,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<|P_{70} = 21 + \frac{28 - 26}{11}\times5 = 21 + \frac{2}{11}\times5 \approx 21 + 0.909 = 21.909|>>    
  
---  
  
# คำตอบ    
  
2. ค่า \(D_2 + Q_3 = 14 + 22.818 =\) <<|36.818|>>    
3. สัมโอ (\(Q_1\)) ≈ <<|16|>>    
4. คะแนนขั้นต่ำของนักศึกษาที่ได้เกรด B ≈ <<|21.909|>>
คัดลอก

[Analysis]    
ปัญหานี้เป็นการหาตำแหน่งควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนไทล์จากชุดข้อมูลเชิงอันดับ จึงใช้วิธี    
- เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก    
- ใช้สูตรตำแหน่ง    
- กรณีตำแหน่งไม่ลงตัวให้ทำการประมาณค่าโดยการแทรกเชิงเส้น (linear interpolation)    
  
[Solution]    
1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก    
   <<|2,3,6,9,9,10,13,13,16,16,16,17,19,20|>>    
   จำนวนข้อมูล <<|n=14|>>    
  
2. หา Q₁    
   - ตารางข้อมูลแบ่งเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันสำหรับ n คู่    
   - ช่วงล่าง 7 จำนวนแรกคือ <<|2,3,6,9,9,10,13|>>    
   - Q₁ คือ median ของช่วงล่าง ตำแหน่งที่ 4    
   - ดังนั้น    
     <<|Q_{1}=x_{(4)}=9|>>    
  
3. หา D₈ (80th percentile)    
   - ตำแหน่งตามสูตร <<|i=(n+1)\times\frac{8}{10}=15\times0.8=12|>>    
   - ตำแหน่งที่ 12 ของข้อมูลที่เรียงแล้วคือ 17    
   - ดังนั้น    
     <<|D_{8}=17|>>    
  
4. หา P₃₇ (37th percentile)    
   - ตำแหน่งตามสูตร <<|i=(n+1)\times0.37=15\times0.37=5.55|>>    
   - ตำแหน่ง 5 และ 6 คือ 9 กับ 10    
   - ประมาณค่าโดย interpolation    
     <<|P_{37}=x_{(5)}+(0.55)\times\bigl(x_{(6)}-x_{(5)}\bigr)=9+0.55\times(10-9)=9.55|>>    
  
5. หาคะแนนต่ำสุดในกลุ่ม 30% สูงสุด และเปรียบเทียบกับ D₈    
   - จำนวนกลุ่ม 30% สูงสุด = <<|0.3\times14=4.2|>> ≈ 5 คน    
   - 5 อันดับสูงสุดคือตำแหน่ง 10–14 ของชุดข้อมูล เรียงแล้วได้ <<|16,16,17,19,20|>>    
   - คะแนนต่ำสุดในกลุ่มนี้ = 16    
   - คะแนนต่างจาก D₈ = <<|D_{8}-16=17-16=1|>>    
  
[Answer]    
<<|Q_{1}=9,\quad D_{8}=17,\quad P_{37}\approx9.55,\quad\text{คะแนนต่ำสุดใน 30% สูงสุด น้อยกว่า }D_{8}\text{ อยู่ }1\text{ คะแนน}|>>    
คัดลอก

Analysis
โจทย์เป็นการทดสอบสมมติฐานของความแปรปรวน (variance) ของอายุการใช้งานโทรศัพท์มือถือ ว่ามีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ไม่เกิน 2.5 ปี หรือไม่ (σ≤2.5) โดยสมมติว่าอายุการใช้งานแจกแจงแบบปกติ ที่ระดับนัยสำคัญ α=1%

Solution
ขั้นตอนที่ 1: กำหนดสมมติฐาน
H₀: σ ≤ 2.5 (โทรศัพท์เป็นไปตามมาตรฐาน)
H₁: σ > 2.5 (โทรศัพท์ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน)

ขั้นตอนที่ 2: รวบรวมข้อมูลเบื้องต้น
นับขนาดตัวอย่างได้ n=35 เครื่อง
องศาอิสระ df = n–1 = 34

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณค่าสถิติตัวอย่าง
• คำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} x_i = \frac{5 + 4+\dots + 4}{35} = 3.4571$

• คำนวณความแปรปรวนตัวอย่าง (แบบแบ่งด้วย n–1)
$s^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = 2.4319$

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณสถิติทดสอบ
สำหรับการทดสอบความแปรปรวน เมื่อ H₁ เป็น “>” ใช้
<<|
\chi^2 = \frac{(n-1),s^2}{\sigma_0^2}
= \frac{34 \times 2.4319}{(2.5)^2}
= 13.2137
|>>

ขั้นตอนที่ 5: หาค่าจากตาราง χ²
ค่าความสำคัญ α=0.01 สําหรับ df=34
$\chi^2_{0.99;,34} \approx 57.15$

ขั้นตอนที่ 6: ตัดสินใจ
เพราะ $13.2137 < 57.15$ จึงไม่ตกใจสมมติฐาน H₀

Answer
จากการทดสอบไม่พบหลักฐานเพียงพอที่จะปฏิเสธ H₀ ที่ระดับนัยสำคัญ 1% จึงสรุปได้ว่า
$\sigma \le 2.5$
กล่าวคือ โทรศัพท์มือถือที่ผลิตเป็นไปตามมาตรฐานด้านส่วนเบี่ยงเบนของอายุการใช้งาน

## Analysis    
โจทย์เป็นการทดสอบสมมติฐานสำหรับอัตราส่วน (หนึ่งสัดส่วน) โดยต้องการตรวจสอบว่าอัตราส่วนของคนไทยที่มีน้ำหนักเพิ่มขึ้นมากกว่า 3 กิโลกรัมต่อปี มากกว่า 20% หรือไม่ ที่ระดับนัยสำคัญ 5% จึงใช้การทดสอบแบบ Z–test สำหรับอัตราส่วนประชากร  
  
## Solution    
  
1. กำหนดสมมติฐาน    
   <<| H_{0}: p = 0.20 |>><<| H_{1}: p > 0.20 |>>  
  
2. คำนวณสัดส่วนตัวอย่าง    
   - ข้อมูลจำนวนผู้ที่น้ำหนักเพิ่มมากกว่า 3 กิโลกรัม = 4    
   - ขนาดกลุ่มตัวอย่าง \(n = 36\)    
   - สัดส่วนตัวอย่าง    
     <<| \hat{p} = \tfrac{4}{36} = 0.1111 |>>  
  
3. คำนวณค่าสถิติทดสอบ    
   - ความแปรปรวนภายใต้ H0:    
     <<| \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\tfrac{p_{0}(1-p_{0})}{n}} = \sqrt{\tfrac{0.20 \times 0.80}{36}} = 0.0667 |>    
   - ค่าสถิติ Z:    
     <<| Z = \tfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sigma_{\hat{p}}} = \tfrac{0.1111 - 0.20}{0.0667} = -1.3333 |>>  
  
4. เกณฑ์ตัดสินใจ    
   - ค่าจากตารางมาตรฐานที่ระดับนัยสำคัญ 5% (one–tailed right) คือ <<| Z_{c} = 1.645 |>    
   - เปรียบเทียบ: <<| Z = -1.3333 < Z_{c} = 1.645 |>    
   ⇒ ไม่อยู่ในบริเวณปฏิเสธ \(H_{0}\)  
  
## Answer    
ที่ระดับนัยสำคัญ 5% ไม่สามารถปฏิเสธสมมติฐาน \(H_{0}\) ได้ จึงสรุปได้ว่า    
“กระทรวงสาธารณสุข **ไม่จำเป็น** ต้องทำการรณรงค์ควบคุมน้ำหนัก”    
คัดลอก